クリスタルシステム

六角形の ハンクス石結晶、3回の c軸対称性

格子システムは、格子の同じセットを持つ格子のクラスである点グループのサブグループであり、算術結晶クラス。14個のBravais格子は、三斜晶、単斜晶、斜方晶、正方晶、菱面体晶、六方晶、立方晶の7つの格子系にグループ化されています。

結晶系、点群とそれらの対応する空間群のセットは、格子システムに割り当てられています。3次元に存在する32の点群のうち、ほとんどは1つの格子系にのみ割り当てられます。この場合、結晶系と格子系の両方に同じ名前が付けられます。ただし、菱面体晶と六角形の2つの格子系には、両方とも3回回転対称性を示すため、5つの点群が割り当てられます。これらの点群は、三方晶系に割り当てられます。合計で7つの結晶系があります：三斜晶、単斜晶、斜方晶、正方晶、三斜晶、六方晶、および立方晶。

結晶家族は格子と点群によって決定されます。これは、共通の格子系に割り当てられた空間群を持つ結晶系を組み合わせることによって形成されます。三次元では、結晶系と結晶系は同一ですが、六方晶系と三方晶系が1つの六方晶系に結合されている点が異なります。合計で6つの結晶系があります：三斜晶、単斜晶、斜方晶、正方晶、六方晶、および立方晶。

3次元未満のスペースには、同じ数の結晶系、結晶系、および格子系があります。一次元空間には、1つの結晶系があります。2D空間には、斜め、長方形、正方形、六角形の4つの結晶系があります。

次の表に、3次元結晶系、結晶系、格子系の関係を示します。

注：「三方晶」格子系はありません。用語の混乱を避けるために、「三方格子」という用語は使用されていません。

次の表に示すように、7つの結晶系は32の結晶クラス（32の結晶点群に対応）で構成されています。

クリスタルファミリー	クリスタルシステム	ポイントグループ/クリスタルクラス	シェーンフリース	ヘルマン・モーガン	オービフォールド	コクセター	点対称	注文	抽象グループ
三斜晶		小児	C 1	1	11	[] +	エナンチオモルフィック 極性	1	些細なこと ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {1}}$
		ピナコイダル	C i（S 2）	1	1倍	[2,1 + ]	中心対称	2	サイクリック ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$
単斜晶		蝶形骨	C 2	2	22	[2,2] +	エナンチオモルフィック 極性	2	サイクリック ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$
		ドマティック	C s（C 1h）	m	* 11	[]	極地	2	サイクリック ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$
		プリズム	C 2h	2 / m	2 *	[2,2 + ]	中心対称	4	クラインの四元群 ${\ displaystyle \ mathbb {V} = \ mathbb {Z} _ {2} \ times \ mathbb {Z} _ {2}}$
斜方晶		菱形-くさび形	D 2（V）	222	222	[2,2] +	エナンチオモルフィック	4	クラインの四元群 ${\ displaystyle \ mathbb {V} = \ mathbb {Z} _ {2} \ times \ mathbb {Z} _ {2}}$
		菱形ピラミッド	C 2v	mm2	* 22	[2]	極地	4	クラインの四元群 ${\ displaystyle \ mathbb {V} = \ mathbb {Z} _ {2} \ times \ mathbb {Z} _ {2}}$
		菱形-双角錐	D 2h（V h）	うーん	* 222	[2,2]	中心対称	8	${\ displaystyle \ mathbb {V} \ times \ mathbb {Z} _ {2}}$
正方晶		正方晶-ピラミッド	C 4	4	44	[4] +	エナンチオモルフィック 極性	4	サイクリック ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {4}}$
		正方晶-くさび形	S 4	4	2倍	[2 +、2]	非中心対称	4	サイクリック ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {4}}$
		正方晶-双角錐	C 4h	4 / m	4 *	[2,4 + ]	中心対称	8	${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {4} \ times \ mathbb {Z} _ {2}}$
		正方晶-ねじれ双角錐	D 4	422	422	[2,4] +	エナンチオモルフィック	8	二面角 ${\ displaystyle \ mathbb {D} _ {8} = \ mathbb {Z} _ {4} \ rtimes \ mathbb {Z} _ {2}}$
		二正方晶-ピラミッド	C 4v	4mm	* 44	[4]	極地	8	二面角 ${\ displaystyle \ mathbb {D} _ {8} = \ mathbb {Z} _ {4} \ rtimes \ mathbb {Z} _ {2}}$
		正方晶-スケールノヘドラル	D 2d（V d）	4 2メートルまたは4 m2の	2 * 2	[2 +、4]	非中心対称	8	二面角 ${\ displaystyle \ mathbb {D} _ {8} = \ mathbb {Z} _ {4} \ rtimes \ mathbb {Z} _ {2}}$
		二正方晶-双角錐	D4時間	4 / mmm	* 422	[2,4]	中心対称	16	${\ displaystyle \ mathbb {D} _ {8} \ times \ mathbb {Z} _ {2}}$
六角	三方晶	三角錐-ピラミッド	C 3	3	33	[3] +	エナンチオモルフィック 極性	3	サイクリック ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {3}}$
		菱面体晶	C 3i（S 6）	3	3倍	[2 +、3 + ]	中心対称	6	サイクリック ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {6} = \ mathbb {Z} _ {3} \ times \ mathbb {Z} _ {2}}$
		三角錐-ねじれ双角錐	D 3	32または321または312	322	[3,2] +	エナンチオモルフィック	6	二面角 ${\ displaystyle \ mathbb {D} _ {6} = \ mathbb {Z} _ {3} \ rtimes \ mathbb {Z} _ {2}}$
		ditrigonal-pyramidal	C 3v	3mまたは3m1または31m	* 33	[3]	極地	6	二面角 ${\ displaystyle \ mathbb {D} _ {6} = \ mathbb {Z} _ {3} \ rtimes \ mathbb {Z} _ {2}}$
		ditrigonal-scalenohedral	D 3d	3 Mまたは3 M1または3 1メートル	2 * 3	[2 +、6]	中心対称	12	二面角 ${\ displaystyle \ mathbb {D} _ {12} = \ mathbb {Z} _ {6} \ rtimes \ mathbb {Z} _ {2}}$
	六角	六角錐-ピラミッド	C 6	6	66	[6] +	エナンチオモルフィック 極性	6	サイクリック ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {6} = \ mathbb {Z} _ {3} \ times \ mathbb {Z} _ {2}}$
		三角錐-双角錐	C 3h	6	3 *	[2,3 + ]	非中心対称	6	サイクリック ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {6} = \ mathbb {Z} _ {3} \ times \ mathbb {Z} _ {2}}$
		六角形-双角錐	C 6h	6 / m	6 *	[2,6 + ]	中心対称	12	${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {6} \ times \ mathbb {Z} _ {2}}$
		六角形-ねじれ双角錐	D 6	622	622	[2,6] +	エナンチオモルフィック	12	二面角 ${\ displaystyle \ mathbb {D} _ {12} = \ mathbb {Z} _ {6} \ rtimes \ mathbb {Z} _ {2}}$
		ジヘキサゴナル-ピラミッド	C 6v	6mm	* 66	[6]	極地	12	二面角 ${\ displaystyle \ mathbb {D} _ {12} = \ mathbb {Z} _ {6} \ rtimes \ mathbb {Z} _ {2}}$
		双角錐-双角錐	D3時間	6 m2のか、6 2メートル	* 322	[2,3]	非中心対称	12	二面角 ${\ displaystyle \ mathbb {D} _ {12} = \ mathbb {Z} _ {6} \ rtimes \ mathbb {Z} _ {2}}$
		ジヘキサゴナル-双角錐	D 6h	6 / mmm	* 622	[2,6]	中心対称	24	${\ displaystyle \ mathbb {D} _ {12} \ times \ mathbb {Z} _ {2}}$
キュービック		tetartoidal	T	23	332	[3,3] +	エナンチオモルフィック	12	交互 ${\ displaystyle \ mathbb {A} _ {4}}$
		二倍体	T h	m 3	3 * 2	[3 +、4]	中心対称	24	${\ displaystyle \ mathbb {A} _ {4} \ times \ mathbb {Z} _ {2}}$
		ジャイロイダル	O	432	432	[4,3] +	エナンチオモルフィック	24	対称 ${\ displaystyle \ mathbb {S} _ {4}}$
		六四面体	T d	4 3m	* 332	[3,3]	非中心対称	24	対称 ${\ displaystyle \ mathbb {S} _ {4}}$
		六八面体	Oの時間	m 3 m	* 432	[4,3]	中心対称	48	${\ displaystyle \ mathbb {S} _ {4} \ times \ mathbb {Z} _ {2}}$

構造の点対称性は、次のようにさらに説明できます。（その結果、構造を構成する、すべての単一の点を介してそれらを反映した点を考慮して、X、Y、Zは、（ - ）となるX、 - Y - 、 - Z）。これが「反転構造」です。元の構造と反転した構造が同一である場合、構造は中心対称です。それ以外の場合は、中心対称ではありません。それでも、中心対称でない場合でも、反転した構造を回転させて元の構造に合わせることができる場合があります。これは非中心対称のアキラル構造です。反転した構造を回転させて元の構造と整列させることができない場合、その構造はキラルまたはエナンチオモルフィックであり、その対称群はエナンチオモルフィックです。^[1]

方向（矢印のない線を意味する）は、その2方向の感覚が幾何学的または物理的に異なる場合、極と呼ばれます。極性のある結晶の対称方向は、極軸と呼ばれます。^[2]極軸を含む基が呼び出される極性。極性結晶は固有の極性軸を持っています（より正確には、すべての極性軸は平行です）。この軸の両端では、幾何学的または物理的特性が異なります。たとえば、焦電結晶のように誘電分極が発生する場合があります。極軸は、非中心対称構造でのみ発生します。軸の2つの方向が同等になるため、極軸に垂直なミラー平面または2つの軸は存在できません。

キラル生体分子の結晶構造（タンパク質構造など）は、65のエナンチオモルフィック空間群でのみ発生します（生体分子は通常キラルです）。

結晶系には7種類あり、それぞれの結晶系には4種類のセンタリング（プリミティブ、ベース中心、ボディ中心、フェース中心）があります。ただし、すべての組み合わせが一意であるとは限りません。一部の組み合わせは同等ですが、対称性の理由により他の組み合わせは不可能です。これにより、一意の格子の数が14個のBravais格子に減ります。

14個のBravais格子の格子系と結晶系への分布を次の表に示します。

クリスタルファミリー	格子系	点群 （シェーンフリース表記）	14ブラベ格子
			プリミティブ（P）	ベース中心（S）	体心（I）	顔中心（F）
三斜晶系（a）		C i	aP
単斜晶（m）		C 2h	mP	MS
斜方晶（o）		D 2h	oP	OS	oI	の
正方晶（t）		D4時間	tP		tI
六角形（h）	菱面体晶	D 3d	hR
	六角	D 6h	hP
キュービック（c）		Oの時間	cP		cI	cF

幾何学と結晶、ブラベ格子の範疇である平行移動 対称群（としても知られている格子三の方向に）。

このような対称群は、次の形式のベクトルによる平行移動で構成されます。

R = n ₁ a ₁ + n ₂ a ₂ + n ₃ a ₃、

ここで、n ₁、n ₂、およびn ₃は整数であり、a ₁、a ₂、およびa ₃は、プリミティブベクトルと呼ばれる3つの非同一平面上のベクトルです。

これらのラティスは、ポイントのコレクションとして表示される、ラティス自体の空間群によって分類されます。3次元には14個のBravais格子があります。それぞれが1つの格子系にのみ属します。それら^{[必要な説明]}は、与えられた並進対称性を持つ構造が持つことができる最大の対称性を表します。

すべての結晶性材料（準結晶を含まない）は、定義上、これらの配置の1つに適合しなければなりません。

便宜上、Bravais格子は、プリミティブセルよりも1、2、3、または4倍大きいユニットセルで表されます。結晶または他のパターンの対称性に応じて、基本領域は再び小さくなり、最大で48倍になります。

ブラベ格子は1842年にモリッツルートヴィヒフランケンハイムによって研究され、15のブラベ格子があることがわかりました。これは1848年にA.ブラヴェによって14に修正されました。

‌4次元ユニットセルは、4つのエッジ長（a、b、c、d）と6つの軸間角度（α、β、γ、δ、ε、ζ）によって定義されます。格子定数の次の条件は、23の結晶族を定義します

ここでの名前はWhittakerによるものです。^[3]彼らはブラウンとほぼ同じであるら、^[4]結晶家族9名の例外、13と、ブラウンによるとこれら三つの家族のための22名らは括弧内に与えられています。

次の表に、4次元結晶系、結晶系、格子系の関係を示します。^{[3] [4]}エナンチオモルフィックシステムにはアスタリスクが付いています。エナンチオモルフィックペアの数は括弧内に示されています。ここで、「エナンチオモルフィック」という用語は、3次元結晶クラスの表とは異なる意味を持っています。後者は、エナンチオモルフィック点群がキラル（エナンチオモルフィック）構造を表すことを意味します。現在のテーブルで、（幾何学的オブジェクトとしてみなさ）グループ自体は、三次元空間群P3の鏡像対のような、鏡像であることを「鏡像」手段₁およびP3 ₂、P4 ₁ 22およびP4 ₃四最低22次元空間、点群もこの意味でエナンチオモルフィックである可能性があります。

• 結晶クラスター –オープンスペースで形成された結晶のグループで、内部の結晶構造によって形が決まります。
• 結晶構造 –結晶材料内の原子、イオン、または分子の規則正しい配置
• 空間群のリスト
• 極点群

• ハーン、テオ、編 （2002）。結晶学のための国際表、ボリュームA：空間群対称性。結晶学のための国際的な表。A（第5版）。ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag。土井：10.1107 / 97809553602060000100。ISBN 978-0-7923-6590-7。

• 32グループの概要
• ミネラルギャラリー–対称性
• すべての立方晶クラス、フォーム、および立体投影（インタラクティブJavaアプレット）
• 結晶系で結晶学のオンライン辞書
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• 結晶学を学ぶ