関数の微分

差動最初によって直感的またはヒューリスティックな定義を介して導入したアイザック・ニュートンによってさらに進めるゴットフリートライプニッツ差動考え、  DY無限小（又は微小値で）変化 Y無限小変化に対応し、機能の DX関数の引数 x で。そのため、関数の導関数の値であるxに対するy の瞬間的な変化率は、分数で表されます。

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$

デリバティブのライプニッツ表記と呼ばれるもの。商dy / dxは無限に小さくはありません。むしろ実数です。

この形式での無限小の使用は、たとえばバークレー司教の有名なパンフレット「アナリスト」によって広く批判されました。Augustin-Louis Cauchy ( 1823 ) は、ライプニッツの無限小の原子論に訴えることなく微分を定義した。^{[1] [2]の}代わりに、コーシー、以下ダランベール、ライプニッツと彼の後継者の論理的順序を反転：自体誘導体として定義される基本的な対象となった限界差分商の、および差は、次にで定義しましたそれ。つまり、式によって微分dyを自由に定義できました

${\displaystyle dy=f'(x)\,dx}$

ここでDY及びDXは単に有限の実数値を取る新しい変数、ある^[3]彼らはライプニッツのためにされていたとして、無限小に固定されていません。^[4]

Boyer (1959 年、p. 12) によると、Cauchy のアプローチは、無限小の形而上学的な概念を呼び出す代わりに、量dyとdxをまったく同じ方法で操作できるため、ライプニッツの無限小アプローチよりも大幅に論理的に改善されました。意味のある方法で他の実数。コーシーの微分に対する全体的な概念的アプローチは、現代の分析的処理における標準的なアプローチのままである^[5]が、極限に関する完全に現代的な概念である厳密さに関する最後の言葉は、最終的にはカール・ワイエルシュトラスによるものである. ^[6]

熱力学の理論に適用されるような物理的治療では、無限小の見方が依然として支配的です。Courant & John (1999 年、p. 184) は、無限小微分の物理的使用とそれらの数学的不可能性を次のように調和させています。微分は、意図された特定の目的に必要な精度よりも小さい有限の非ゼロ値を表します。したがって、「物理的無限小」は、正確な意味を持つために、対応する数学的無限小にアピールする必要はありません。

20 世紀の数学的分析と微分幾何学の発展に続いて、関数の微分の概念はさまざまな方法で拡張できることが明らかになりました。実際の分析は、機能の増加の要部としての差動を直接処理することがより望ましいです。これは、ある点での関数の微分が増分 Δ x の線形汎関数であるという概念に直接つながります。このアプローチにより、微分を (線形写像として) さまざまなより洗練された空間のために開発することができ、最終的にはフレシェ (Fréchet)やガトー微分 ( Gateaux) のような概念が生まれます。同様に、微分幾何では、ある点での関数の微分は接線ベクトル(「無限に小さい変位」) の線形関数であり、関数の外微分という一種の 1 形式としてそれを示します。では、非標準計算、差は自身が厳しい立場に置くことができ、無限小とみなされている（参照）差動（無限小を）。

点x ₀における関数ƒ ( x )  の微分 。

微分は次のように微分計算の現代の処理で定義されます。^[7]単一の実数変数x の関数f ( x ) の微分は、2 つの独立実数変数xと Δ xの関数dfであり、次で与えられます。

${\displaystyle df(x,\Delta x){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}f'(x)\,\Delta x.}$

引数の一方または両方が抑制される場合があります。つまり、df ( x ) または単にdfが表示される場合があります。場合、Yは =  fは（X）、差動のように書くこともできるDY。以降DX（X、Δ X）=Δ xは、それが書き込みに従来のものであり、DX  =Δ Xので、次の等式が成立します。

${\displaystyle df(x)=f'(x)\,dx}$

この微分の概念は、増分Δ x の値が十分に小さい関数の線形近似を求める場合に広く適用できます。より正確には、fがxで微分可能な関数である場合、y値の差

${\displaystyle \Delta y{\stackrel {\rm {def}}{=}}f(x+\Delta x)-f(x)}$

満たす

${\displaystyle \Delta y=f'(x)\,\Delta x+\varepsilon =df(x)+\varepsilon \,}$

ここで、近似の誤差 ε はε /Δ x  → 0 を Δ x  → 0として満たします。つまり、近似単位は

${\displaystyle \Delta y\about dy}$

Δ xが十分に小さくなるように制約することにより、Δ xに対して誤差を必要なだけ小さくすることができます。つまり、

${\displaystyle {\frac {\Delta y-dy}{\Delta x}}\to 0}$

ΔとしてX このため→0、関数の微分は次のように知られている（線形）要部機能の増加で：差動ある線形関数増分ΔとのX、及び誤差εがあってもよいが非線形では、Δ xがゼロに近づくにつれて急速にゼロになる傾向があります。

演算子\関数	${\displaystyle f(x)}$	${\displaystyle f(x,y,u(x,y),v(x,y))}$
差動	1: ${\displaystyle df\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,f'_{x}\,dx}$	2: ${\displaystyle d_{x}f\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,f'_{x}\,dx}$ 3: d f = d e f f バツ 」 d バツ + f よ 」 d よ + f あなたは 」 d あなたは + f v 」 d v {\displaystyle df\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,f'_{x}dx+f'_{y}dy+f'_{u} du+f'_{v}dv}
偏導関数	${\displaystyle f'_{x}\,{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}\,{\frac {df}{dx}}}$	${\displaystyle f'_{x}\,{\overset {\underset {\mathrm {(2)} }{}}{=}}\,{\frac {d_{x}f}{dx}}= {\frac {\partial f}{\partial x}}}$
全微分	${\displaystyle {\frac {df}{dx}}\,{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}\,f'_{x}}$	${\displaystyle {\frac {df}{dx}}\,{\overset {\underset {\mathrm {(3)} }{}}{=}}\,f'_{x}+f'_{ u}{\frac {du}{dx}}+f'_{v}{\frac {dv}{dx}};(f'_{y}{\frac {dy}{dx}}=0) }$

Goursat (1904 , I, §15)に従い、複数の独立変数の関数について、

${\displaystyle y=f(x_{1},\dots ,x_{n}),}$

変数x _{1 の}いずれか 1 つに関する yの偏微分は、その 1 つの変数の変更dx ₁に起因 するyの変更の主要な部分です。したがって、偏微分は

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}}$

x ₁に関する yの偏導関数を含みます。すべての独立変数に関する偏微分の合計が全微分です。

${\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n },}$

これは、独立変数x _{i の}変化に起因 するyの変化の主要部分です。

より正確には、Courant (1937b) に従った多変数微積分の文脈において、fが微分可能な関数である場合、微分可能性の定義により、増分は

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta y&{}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}f(x_{1}+\Delta x_{1},\dots ,x_{n}+ \Delta x_{n})-f(x_{1},\dots ,x_{n})\\&{}={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\Delta x_{ 1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\Delta x_{n}+\varepsilon _{1}\Delta x_{1}+\cdots +\varepsilon _{ n}\Delta x_{n}\end{aligned}}}$

ここで、誤差項ε _iは、増分Δ x _iが共同してゼロになる傾向があるため、ゼロになる傾向があります。次に、全微分は次のように厳密に定義されます。 

${\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\デルタ x_{n}.}$

なぜなら、この定義では、

${\displaystyle dx_{i}(\Delta x_{1},\dots ,\Delta x_{n})=\Delta x_{i},}$

1つは持っています

${\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\,dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\ ,dx_{n}.}$

1 つの変数の場合と同様に、近似単位元は次のとおりです。

${\displaystyle dy\about \Delta y}$

と比較して、合計誤差を必要なだけ小さくすることができます。 ${\displaystyle {\sqrt {\Delta x_{1}^{2}+\cdots +\Delta x_{n}^{2}}}}$ 十分に小さな増分に注意を制限することによって。

全微分の誤差推定への適用

測定では、パラメータx , y , …の誤差 Δ x , Δ y , ... に基づいて、関数f の誤差Δ fを推定する際に全微分が使用されます。変化がほぼ線形になるのに十分な間隔が短いと仮定すると、次のようになります。

Δ f ( x ) = f' ( x ) × Δ x

そして、すべての変数が独立していること、すべての変数について、

${\displaystyle \Delta f=f_{x}\Delta x+f_{y}\Delta y+\cdots }$

これは、特定のパラメータxに関する導関数f _xが、x の変化、特にエラー Δ xに対する関数f の感度を与えるためです。それらは独立していると想定されているため、分析は最悪のシナリオを説明しています。コンポーネント誤差の絶対値が使用されます。単純な計算の後、導関数は負の符号を持つ場合があるためです。この原理から、合計、乗算などのエラー規則が導き出されます。たとえば、次のようになります。

f( a , b ) = a × b とします。

Δ f = f _a Δ a + f _b Δ b ; デリバティブの評価

Δ f = b Δ a + a Δ b ; a × bであるfで 割る

Δ f / f = Δ a / a + Δ b / b

つまり、乗算では、総相対誤差はパラメータの相対誤差の合計です。

これが考慮される関数にどのように依存するかを説明するために、関数がf ( a , b ) = a ln b である場合を考えてみましょう。次に、誤差推定値は次のように計算できます。

Δ f / f = Δ a / a + Δ b /( b ln b )

単純な製品の場合には見つからない余分な ' ln b ' 因子を使用します。ln bは裸のbほど大きくない ため、この追加の要因により誤差が小さくなる傾向があります。

単一変数x の関数y  =  f ( x ) の高階微分は、次の方法で定義できます。^[8]

${\displaystyle d^{2}y=d(dy)=d(f'(x)dx)=(df'(x))dx=f''(x)\,(dx)^{2}, }$

そして、一般的に、

${\displaystyle d^{n}y=f^{(n)}(x)\,(dx)^{n}.}$

非公式には、これがライプニッツの高階導関数の表記法に動機付けられている

${\displaystyle f^{(n)}(x)={\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}.}$

独立変数x自体が他の変数に依存することが許可されている場合、式はx自体の高階微分も含む必要があるため、式はより複雑になります。したがって、たとえば、

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{2}y&=f''(x)\,(dx)^{2}+f'(x)d^{2}x\\d^{3} y&=f'''(x)\,(dx)^{3}+3f''(x)dx\,d^{2}x+f'(x)d^{3}x\end{整列}}}$

などです。

いくつかの変数の関数の高階微分を定義する場合にも、同様の考慮事項が適用されます。たとえば、fが 2 つの変数xとy の関数である場合、

${\displaystyle d^{n}f=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {\partial ^{n}f}{\partial x^{k}\partial y^{n-k}}}(dx)^{k}(dy)^{n-k},}$

where ${\textstyle {\binom {n}{k}}}$ is a binomial coefficient. In more variables, an analogous expression holds, but with an appropriate multinomial expansion rather than binomial expansion.^[9]

Higher order differentials in several variables also become more complicated when the independent variables are themselves allowed to depend on other variables. For instance, for a function f of x and y which are allowed to depend on auxiliary variables, one has

${\displaystyle d^{2}f=\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(dx)^{2}+2{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}dx\,dy+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}(dy)^{2}\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}d^{2}x+{\frac {\partial f}{\partial y}}d^{2}y.}$

Because of this notational infelicity, the use of higher order differentials was roundly criticized by Hadamard 1935, who concluded:

Enfin, que signifie ou que représente l'égalité

${\displaystyle d^{2}z=r\,dx^{2}+2s\,dx\,dy+t\,dy^{2}\,?}$

A mon avis, rien du tout.

That is: Finally, what is meant, or represented, by the equality [...]? In my opinion, nothing at all. In spite of this skepticism, higher order differentials did emerge as an important tool in analysis.^[10]

In these contexts, the nth order differential of the function f applied to an increment Δx is defined by

${\displaystyle d^{n}f(x,\Delta x)=\left.{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(x+t\Delta x)\right|_{t=0}}$

or an equivalent expression, such as

${\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {\Delta _{t\Delta x}^{n}f}{t^{n}}}}$

where ${\displaystyle \Delta _{t\Delta x}^{n}f}$ is an nth forward difference with increment tΔx.

This definition makes sense as well if f is a function of several variables (for simplicity taken here as a vector argument). Then the nth differential defined in this way is a homogeneous function of degree n in the vector increment Δx. Furthermore, the Taylor series of f at the point x is given by

${\displaystyle f(x+\Delta x)\sim f(x)+df(x,\Delta x)+{\frac {1}{2}}d^{2}f(x,\Delta x)+\cdots +{\frac {1}{n!}}d^{n}f(x,\Delta x)+\cdots }$

The higher order Gateaux derivative generalizes these considerations to infinite dimensional spaces.

A number of properties of the differential follow in a straightforward manner from the corresponding properties of the derivative, partial derivative, and total derivative. These include:^[11]

• Linearity: For constants a and b and differentiable functions f and g,

${\displaystyle d(af+bg)=a\,df+b\,dg.}$

• Product rule: For two differentiable functions f and g,

${\displaystyle d(fg)=f\,dg+g\,df.}$

An operation d with these two properties is known in abstract algebra as a derivation. They imply the Power rule

${\displaystyle d(f^{n})=nf^{n-1}df}$

In addition, various forms of the chain rule hold, in increasing level of generality:^[12]

• If y = f(u) is a differentiable function of the variable u and u = g(x) is a differentiable function of x, then

${\displaystyle dy=f'(u)\,du=f'(g(x))g'(x)\,dx.}$

• If y = f(x₁, ..., x_n) and all of the variables x₁, ..., x_n depend on another variable t, then by the chain rule for partial derivatives, one has

${\displaystyle {\begin{aligned}dy&={\frac {dy}{dt}}dt\\&={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n}\\&={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}{\frac {dx_{1}}{dt}}\,dt+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}{\frac {dx_{n}}{dt}}\,dt.\end{aligned}}}$

Heuristically, the chain rule for several variables can itself be understood by dividing through both sides of this equation by the infinitely small quantity dt.

• More general analogous expressions hold, in which the intermediate variables x_i depend on more than one variable.

A consistent notion of differential can be developed for a function f : Rⁿ → R^m between two Euclidean spaces. Let x,Δx ∈ Rⁿ be a pair of Euclidean vectors. The increment in the function f is

${\displaystyle \Delta f=f(\mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} )-f(\mathbf {x} ).}$

If there exists an m × n matrix A such that

${\displaystyle \Delta f=A\Delta \mathbf {x} +\|\Delta \mathbf {x} \|{\boldsymbol {\varepsilon }}}$

in which the vector ε → 0 as Δx → 0, then f is by definition differentiable at the point x. The matrix A is sometimes known as the Jacobian matrix, and the linear transformation that associates to the increment Δx ∈ Rⁿ the vector AΔx ∈ R^m is, in this general setting, known as the differential df(x) of f at the point x. This is precisely the Fréchet derivative, and the same construction can be made to work for a function between any Banach spaces.

Another fruitful point of view is to define the differential directly as a kind of directional derivative:

${\displaystyle df(\mathbf {x} ,\mathbf {h} )=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +t\mathbf {h} )-f(\mathbf {x} )}{t}}=\left.{\frac {d}{dt}}f(\mathbf {x} +t\mathbf {h} )\right|_{t=0},}$

which is the approach already taken for defining higher order differentials (and is most nearly the definition set forth by Cauchy). If t represents time and x position, then h represents a velocity instead of a displacement as we have heretofore regarded it. This yields yet another refinement of the notion of differential: that it should be a linear function of a kinematic velocity. The set of all velocities through a given point of space is known as the tangent space, and so df gives a linear function on the tangent space: a differential form. With this interpretation, the differential of f is known as the exterior derivative, and has broad application in differential geometry because the notion of velocities and the tangent space makes sense on any differentiable manifold. If, in addition, the output value of f also represents a position (in a Euclidean space), then a dimensional analysis confirms that the output value of df must be a velocity. If one treats the differential in this manner, then it is known as the pushforward since it "pushes" velocities from a source space into velocities in a target space.

Although the notion of having an infinitesimal increment dx is not well-defined in modern mathematical analysis, a variety of techniques exist for defining the infinitesimal differential so that the differential of a function can be handled in a manner that does not clash with the Leibniz notation. These include:

• Defining the differential as a kind of differential form, specifically the exterior derivative of a function. The infinitesimal increments are then identified with vectors in the tangent space at a point. This approach is popular in differential geometry and related fields, because it readily generalizes to mappings between differentiable manifolds.
• Differentials as nilpotent elements of commutative rings. This approach is popular in algebraic geometry.^[13]
• Differentials in smooth models of set theory. This approach is known as synthetic differential geometry or smooth infinitesimal analysis and is closely related to the algebraic geometric approach, except that ideas from topos theory are used to hide the mechanisms by which nilpotent infinitesimals are introduced.^[14]
• Differentials as infinitesimals in hyperreal number systems, which are extensions of the real numbers which contain invertible infinitesimals and infinitely large numbers. This is the approach of nonstandard analysis pioneered by Abraham Robinson.^[15]

Differentials may be effectively used in numerical analysis to study the propagation of experimental errors in a calculation, and thus the overall numerical stability of a problem (Courant 1937a). Suppose that the variable x represents the outcome of an experiment and y is the result of a numerical computation applied to x. The question is to what extent errors in the measurement of x influence the outcome of the computation of y. If the x is known to within Δx of its true value, then Taylor's theorem gives the following estimate on the error Δy in the computation of y:

${\displaystyle \Delta y=f'(x)\Delta x+{\frac {(\Delta x)^{2}}{2}}f''(\xi )}$

where ξ = x + θΔx for some 0 < θ < 1. If Δx is small, then the second order term is negligible, so that Δy is, for practical purposes, well-approximated by dy = f'(x)Δx.

The differential is often useful to rewrite a differential equation

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=g(x)}$

in the form

${\displaystyle dy=g(x)\,dx,}$

in particular when one wants to separate the variables.

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