ディスク(数学)

ジオメトリでは、ディスクスペルドディスク[1]は、円で囲まれた平面の領域です。ディスクは、その境界を構成する円が含まれている場合は閉じており、含まれていない場合は開いていると言われます。[2]

半径の場合、開いているディスクは通常として示され、閉じているディスクはただし、トポロジの分野では、閉じたディスクは通常、開いたディスクがである間として示されます。

デカルト座標では、中心と半径Rの開いた円盤は[ 1 ]で与えられます。

開いたディスクと閉じたディスクは、互いに異なる位相特性を持っているため、位相的に同等ではありません(つまり、同相ではありません)。たとえば、閉じているディスクはすべてコンパクトですが、開いているディスクはすべてコンパクトではありません。[5]しかし、代数トポロジーの観点から、それらは多くの特性を共有します:それらは両方とも可縮性であり[6]、したがって単一点に相当するホモトピーです。これは、それらの基本群が自明であり、 Zと同型である0番目の群を除いてすべてのホモロジー群が自明であることを意味します。オイラー標数ポイントの(したがって、閉じたディスクまたは開いたディスクのポイントも)1です。[7]

閉じたディスクからそれ自体へのすべての連続マップには、少なくとも1つの固定点があります(マップが全単射または全射である必要はありません)。これは、ブラウワーの不動点定理のn =2の場合です。[8]開いているディスクのステートメントは誤りです:[9]

たとえば、開いている単位円板のすべての点を、指定された円板の右側にある開いている単位円板上の別の点にマップする関数について考えてみます。しかし、閉じた単位円板の場合、半円上のすべての点を修正します


ディスク付き
  円周 C
  直径D
  半径R
  中心または原点O
ディスク上のポイントから場所までの平均距離
ディスクから内部ポイントまでの平均距離
ディスクから外部ポイントまでの平均距離
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