特異点（数学）

実際の分析、特異点のいずれかである不連続、または不連続誘導体（高次誘導体の時には不連続）。不連続性には4種類あります。2つのサブタイプを持つタイプIと、2つのサブタイプに分割できるタイプIIです（通常はそうではありません）。

これらの2種類の制限がどのように使用されているかを説明するために、次のように仮定します。 ${\ displaystyle f（x）}$ は実際の引数の関数です ${\ displaystyle x}$、およびその引数の任意の値について、次のように言います ${\ displaystyle c}$、次に左利きの制限、${\ displaystyle f（c ^ {-}）}$、および右利きの制限、${\ displaystyle f（c ^ {+}）}$、は次のように定義されます。

${\ displaystyle f（c ^ {-}）= \ lim _ {x \ to c} f（x）}$、によって制約されます ${\ displaystyle x$ そして

${\ displaystyle f（c ^ {+}）= \ lim _ {x \ to c} f（x）}$、によって制約されます ${\ displaystyle x> c}$。

値 ${\ displaystyle f（c ^ {-}）}$ 関数がその値です ${\ displaystyle f（x）}$ 値としての傾向があります ${\ displaystyle x}$ アプローチ ${\ displaystyle c}$下から、そして値${\ displaystyle f（c ^ {+}）}$ 関数がその値です ${\ displaystyle f（x）}$ 値としての傾向があります ${\ displaystyle x}$ アプローチ ${\ displaystyle c}$上記にかかわらず、実際の値の関数は、ここの時点で有しています${\ displaystyle x = c}$ 。

これらの制限がまったく存在しない関数がいくつかあります。たとえば、関数

${\ displaystyle g（x）= \ sin \ left（{\ frac {1} {x}} \ right）}$

として何にも傾向がありません ${\ displaystyle x}$ アプローチ ${\ displaystyle c = 0}$。この場合の制限は無限ではなく、未定義です。次のような値はありません。${\ displaystyle g（x）}$に落ち着きます。複雑な分析から借用して、これは時々本質的な特異点と呼ばれます。

与えられた値で起こりうるケース ${\ displaystyle c}$ 引数は次のとおりです。

• 連続のポイントは、の値であります${\ displaystyle c}$ そのために ${\ displaystyle f（c ^ {-}）= f（c）= f（c ^ {+}）}$、スムーズな機能に期待されるように。すべての値は有限でなければなりません。場合${\ displaystyle c}$ が連続点ではない場合、不連続性は次の場所で発生します。 ${\ displaystyle c}$。
• タイプIのとき、両方の不連続性が発生します${\ displaystyle f（c ^ {-}）}$ そして ${\ displaystyle f（c ^ {+}）}$ 存在し、有限ですが、次の3つの条件の少なくとも1つも適用されます。
  • ${\ displaystyle f（c ^ {-}）\ neq f（c ^ {+}）}$;
  • ${\ displaystyle f（x）}$ の場合には定義されていません ${\ displaystyle x = c}$; または
  • ${\ displaystyle f（c）}$ には定義済みの値がありますが、2つの制限の値と一致しません。

  タイプIの不連続性は、次のサブタイプの1つとしてさらに区別できます。

  • ジャンプ不連続性がときに発生します${\ displaystyle f（c ^ {-}）\ neq f（c ^ {+}）}$、 どうか関わらず ${\ displaystyle f（c）}$ が定義されており、定義されている場合はその値に関係なく。
  • 取り外し可能な不連続性がときに発生します${\ displaystyle f（c ^ {-}）= f（c ^ {+}）}$、またかどうかに関係なく ${\ displaystyle f（c）}$ が定義されており、定義されている場合はその値に関係なく（ただし、2つの制限の値と一致しません）。
• タイプIIの場合のいずれかで不連続性が発生します${\ displaystyle f（c ^ {-}）}$ または ${\ displaystyle f（c ^ {+}）}$存在しません（おそらく両方）。これには2つのサブタイプがあり、通常は個別に考慮されません。
  • 無限の不連続性は、それが無限大であるため、具体的に左手または右手限界のいずれかが、存在しない特殊なケースであり、そして他の制限はいずれかも無限であるか、またはいくつかのよく定義された有限数です。言い換えると、グラフに垂直方向の漸近線がある場合、関数には無限の不連続性があります。
  • 基本的な特異点は、複雑な分析から借りた用語です（下記参照）。これは、どちらか一方の制限がある場合です。${\ displaystyle f（c ^ {-}）}$ または ${\ displaystyle f（c ^ {+}）}$存在しませんが、それが無限の不連続であるためではありません。有効な答えが含まれるように拡張されたとしても、本質的な特異点は制限に近づきません${\ displaystyle \ pm \ infty}$。

実際の分析では、特異点または不連続性は関数のみの特性です。関数の導関数に存在する可能性のある特異点は、元の関数ではなく導関数に属すると見なされます。

特異点を調整する

座標特異明らか特異性または不連続性が異なるフレームを選択することによって除去することができるフレームを、座標一方に発生した場合に発生します。この例は、球座標での緯度90度での見かけの特異点です。球の表面上を真北（たとえば、経度0度の線に沿って）移動するオブジェクトは、極で突然経度の変化を経験します（この例の場合、経度0から経度180度にジャンプします）。 。ただし、この不連続性は明らかです。これは、選択された座標系のアーティファクトであり、極で特異です。異なる座標系は、明らかな不連続性を排除します（たとえば、緯度/経度の表現をnベクトル表現に置き換えることによって）。

で複雑な分析、特異点のいくつかのクラスがあります。これらには、孤立特異点、非孤立特異点、および分岐点が含まれます。

孤立特異点

Uが複素数Cの開集合であり、点aがUの要素であり、fが：U \ { a }を除いて、aの周りのある近傍で定義された複素微分可能関数であると仮定します 。

• 点aは、U \ { a }内のすべてのzに対してf（z）= g（z）となるようにすべてのUに定義された正則関数gが存在する場合、fの可除特異点です。関数gは、関数fの連続置換です。^[6]
• 点aは、g（a）がゼロ以外のUで定義された正則関数gが存在し、f（z）= g（z）/（z − ）であるような自然数nが存在する場合、fの極または非真性特異点です。A）^nはすべてのためのzにおけるU \ { }。そのような最小の数nは、極の次数と呼ばれます。非本質的な特異点自体で誘導体は、非本質的な特異点を有するn個（場合を除いて1だけ増加nは特異点が取り外し可能であるように0です）。
• ポイントaがある基本的な特異点のFそれは、取り外し可能な特異点でもポールでもない場合。点aは、ローラン級数が無限に多くの負の次数の累乗を持っている場合にのみ、本質的な特異点です。^[2]

分離されていない特異点

孤立特異点以外に、1つの変数の複素関数は、他の特異点の振る舞いを示す場合があります。これらは非分離特異点と呼ばれ、次の2つのタイプがあります。

• クラスター点：孤立特異点の極限点。それらがすべて極である場合、それらのそれぞれでローラン級数の拡張を認めているにもかかわらず、そのような拡張はその限界で不可能です。
• 自然境界：関数が解析接続で継続できない（リーマン球の閉じた曲線の場合はそれらの外側にある）非分離セット（曲線など）。

分岐点

分岐点は通常、次のような複数値関数の結果です。${\ displaystyle {\ sqrt {z}}}$ または ${\ displaystyle \ log（z）}$、特定の限定されたドメイン内で定義されているため、ドメイン内で関数を単一値にすることができます。カットは、関数の不連続な値の間に技術的な分離を導入するためにドメインから除外された線または曲線です。カットが本当に必要な場合、関数は分岐カットの両側で明確に異なる値を持ちます。2つの異なる分岐点を接続する必要がある場合でも、分岐カットの形状は選択の問題です（${\ displaystyle z = 0}$ そして ${\ displaystyle z = \ infty}$ にとって ${\ displaystyle \ log（z）}$）所定の位置に固定されています。

相互の機能発揮、 双曲線成長を。

有限時間の特異点は、一つの入力変数が時間であり、有限時間で無限大に向かって出力変数が増加するときに生じます。これらは運動学とPDE（偏微分方程式）で重要です–無限は物理的には発生しませんが、特異点の近くの振る舞いはしばしば興味深いものです。数学的には、最も単純な有限時間の特異点は、形式のさまざまな指数のべき乗則です。${\ displaystyle x ^ {-\ alpha}、}$その中で最も単純なのは双曲線成長であり、指数は（負の）1です。${\ displaystyle x ^ {-1}。}$ より正確には、時間が進むにつれて正の時間に特異点を取得するために（出力が無限大に成長するように）、代わりに次のように使用します。 ${\ displaystyle（t_ {0} -t）^ {-\ alpha}}$（時間にtを使用し、方向を逆にして${\ displaystyle -t}$ 時間が無限大に増加するように、特異点を0から固定時間に前方にシフトします ${\ displaystyle t_ {0}}$）。

例としては、平面上での非弾性ボールのバウンドモーションがあります。各バウンスで同じ割合の運動エネルギーが失われる理想的なモーションを考慮すると、ボールが有限時間で静止するため、バウンスの頻度は無限になります。有限時間の特異点の他の例には、パンルヴェのパラドックスのさまざまな形態（たとえば、黒板を横切ってドラッグしたときにチョークがスキップする傾向）、および平らな面で回転したコインの歳差運動速度が無限に向かって加速する方法が含まれます。突然停止する前（オイラーのディスクおもちゃを使用して研究したように）。

架空の例には、Heinz von Foersterのファセットな「Doomsday's方程式」が含まれます（単純化されたモデルは、有限時間で無限の人口を生み出します）。

代数幾何学、代数多様体の特異性は、種々の点で接線空間が定期的に定義されなくてもよいです。特異点の最も単純な例は、それ自体が交差する曲線です。しかし、尖点のような他のタイプの特異点があります。たとえば、方程式y ² − x ³ = 0は、原点x = y = 0に尖点がある曲線を定義します。この点でx軸を接線として定義することはできますが、この定義を他の点での定義と同じにすることはできません。実際、この場合、x軸は「二重接線」です。

ため、アフィンおよび射影品種、特異点がポイントであるヤコビ行列を有するランク種々の他の点よりも低いです。

可換環論に関する同等の定義が与えられ、それは抽象的な種類とスキームに拡張されます。この点の局所環が正則局所環でない場合、その点は特異です。

• カタストロフィー理論
• 定義済みおよび未定義
• 退化（数学）
• ゼロ除算
• 双曲線成長
• 病理学（数学）
• 特異な解決策
• 可除特異点