三次元空間

座標系

数学では、解析幾何(デカルト幾何とも呼ばれます) は、3 つの座標を使用して 3 次元空間内のすべての点を記述します。三つの座標軸における他の2つに、それぞれ垂直に与えられ起源、それらが交差する点。それらは通常、x、y、およびzとラベル付けされます。これらの軸に関連して、3 次元空間内の任意の点の位置は、実数の順序付けられたトリプルによって与えられます。各数値は、与えられた軸に沿って測定された原点からのその点の距離を示します。他の 2 つの軸によって決定される平面からポイントします。^[4]

3 次元空間での点の位置を表す他の一般的な方法には、円筒座標と球座標がありますが、可能な方法は無数にあります。詳細については、ユークリッド空間を参照してください。

上記のシステムのイメージを以下に示します。

• 

  デカルト座標系

• 

  円筒座標系

• 

  球座標系

線と面

2 つの異なる点が常に (直線)線を決定します。3 つの異なる点が同一線上にあるか、固有の平面を決定します。一方、4 つの異なる点は、同一線上、同一平面上、または空間全体を決定することができます。

2 つの異なる線は、交差するか、平行になるか、または斜めになることができます。2 本の平行な線、または2 本の交差する線は、一意の平面上にあるため、ねじれの位置は、交わらず、共通の平面内に存在しない線です。

2 つの異なる平面は、共通の線で交わるか、平行 (つまり、交わらない) のいずれかです。3 つの異なる平面は、どのペアも平行ではなく、共通の線で交わるか、一意の共通点で交わるか、または共通の点を持たないかのいずれかです。最後の場合、平面の各ペアの 3 本の交線は互いに平行です。

線は、指定された平面に存在するか、その平面を一意の点で交差するか、平面に平行になります。最後のケースでは、指定された線に平行な線が平面に存在します。

超平面は少なく、完全な空間の次元より1次元の部分空間です。3 次元空間の超平面は、2 次元の部分空間、つまり平面です。デカルト座標に関して、超平面の点は 1 つの線形方程式を満たすため、この 3 空間の平面は線形方程式によって記述されます。線は、独立した線形方程式のペアで記述できます。それぞれの方程式は、この線を共通の交点とする平面を表します。

ヴァリニョンの定理は、アシスタント^{3 の}任意の四辺形の中点は平行四辺形を形成し、したがって同一平面上にあると述べています。

球とボール

透視投影二次元への球の

球は、 3空間内で（別名2-球の固定距離で3空間内の全ての点のセットで構成され、それは2次元のオブジェクトであるため）R中心点からP。球に囲まれた固体は、ボール(または、より正確には3 ボール)と呼ばれます。ボールの体積は

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$.

球の別のタイプは、その三次元表面である4ボール、から生じる3-球：ポイントはユークリッド空間の原点に等距離ℝ ⁴。点に座標P ( x , y , z , w ) がある場合、x ² + y ² + z ² + w ² = 1は、原点を中心とする 3次元球面上のそれらの点を特徴付けます。

ポリトープ

3 次元では、9 つ​​の正多面体があります。5 つの凸面のプラトン立体と 4 つの非凸のケプラー ポアンソ多面体です。

三次元の正多胞体

クラス	正多面体					星型正多面体
対称	T d	Oの時間		Iの時間
コクセター群	A 3、 [3,3]	B 3、[4,3]		H 3、[5、3]
注文	24	48		120
定期的な多面体	{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}	{5/2,5}	{5,5/2}	{5/2,3}	{3,5/2}

回転面

表面平面回転によって生成される曲線軸として、その平面に固定回線については、と呼ばれる回転面。平面曲線は表面の母線と呼ばれます。軸に垂直 (直交) な平面と面を交差させた面の断面は、円です。

単純な例は、母線が線の場合に発生します。母線が軸線と交差する場合、回転面は頂点 (頂点) を交点とする直円錐です。ただし、母線と軸が平行である場合、回転面は円柱です。

二次曲面

円錐曲線と同様に、デカルト座標が 2 次の一般方程式を満たす点の集合、つまり、

${\displaystyle Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Fxy+Gyz+Hxz+Jx+Ky+Lz+M=0,}$

ここで、A、B、C、F、G、H、J、K、L、およびMは実数であり、A、B、C、F、G、およびH のすべてがゼロではない場合、二次曲面と呼ばれます。^[5]

非縮退二次曲面には 6 つのタイプがあります。

1. 楕円
2. 1枚の双曲面
3. 2枚の双曲面
4. 楕円錐
5. 楕円放物面
6. 双曲放物面

縮重二次曲面は空集合、単一点、単線、単一平面、平面の一対又は二次シリンダ（平面における非縮退円錐部からなる表面でありπとのすべての行ℝ ³からπ に垂直なその円錐形)。^[5]楕円錐は、縮退した二次曲面と見なされる場合もあります。

1枚の双曲面も双曲放物面も線織面です。つまり、直線の族から構成できます。実際、それぞれの家族には母線の 2 つのファミリーがあり、各ファミリーのメンバーは互いに素であり、1 つのファミリーの各メンバーは、1 つの例外を除いて、他のファミリーのすべてのメンバーが交差しています。^[6]各家族はレグルスと呼ばれます。

3 次元空間を表示する別の方法は、独立性の概念が重要な線形代数に見られます。ボックスの長さは幅や幅に依存しないため、スペースには 3 つの次元があります。線形代数の専門用語では、空間のすべての点は 3 つの独立したベクトルの線形結合によって記述できるため、空間は 3 次元です。

ドット積、角度、長さ

ベクトルは矢印で表すことができます。ベクトルの大きさはその長さであり、その方向は矢印が指す方向です。廉直^{3 の}ベクトルは、実数の順序付きトリプルで表すことができます。これらの数値は、ベクトルのコンポーネントと呼ばれます。

2 つのベクトルA = [ A ₁ , A ₂ , A ₃ ]およびB = [ B ₁ , B ₂ , B ₃ ]のドット積は、次のように定義されます^。

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}.}$

ベクトルAの大きさは||で表されます。A || . ベクトルA = [ A ₁ , A ₂ , A ₃ ]とそれ自体の内積は、

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {A} =\|\mathbf {A} \|^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{ 3}^{2},}$

与える

${\displaystyle \|\mathbf {A} \|={\sqrt {\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} }}={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^ {2}+A_{3}^{2}}},}$

ベクトルのユークリッド長さの公式。

ベクトルのコンポーネントに関係なく、2 つの非ゼロ ユークリッド ベクトルAとBのドット積は^{[8] で}与えられ^ます。

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\|\mathbf {A} \|\,\|\mathbf {B} \|\cos \theta ,}$

ここで、θはAとB の間の角度です。

クロス積

クロス積またはベクター製品がある二項演算2つのにおけるベクトル三次元で空間記号×で示されています。外積× BベクトルとBがあるベクトルである垂直の両方に、したがって、通常、それらを含む平面です。これには、数学、物理学、および工学における多くのアプリケーションがあります。

空間と積は体上の多元環を形成します。これは可換でも結合法則でもありませんが、クロス積がリーブラケットであるリー代数です。

で一缶N寸法は、の積取るnは1 -それらの全てにベクトル垂直を生成するベクター。しかし、積がベクトル結果を持つ自明でないバイナリ積に限定されている場合、それは 3次元と7 次元にしか存在しません。^[9]

右手座標系に関する外積

グラデーション、ダイバージェンス、カール

直交座標系では、勾配は次のように与えられます。

${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} }$

連続微分可能な ベクトル場 F = U i + V j + W kの発散は、スカラー値関数に等しくなります。

${\displaystyle \operatorname {div} \,\mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial U}{\partial x}}+{\frac {\partial V}{ \partial y}}+{\frac {\partial W}{\partial z}}.}$

展開デカルト座標（参照円筒状や球面座標でデルのための球状及び円筒形、表現座標）カール∇× Fである、のためにFからなる[ Fは_xは、Fの_Y、Fの_Z ]：

${\displaystyle {\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}}$

ここで、I、J、およびKは、ある単位ベクトルのためのx、 - Y、及び- Zそれぞれ-axes。これは次のように展開されます: ^[10]

${\displaystyle \left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} + \left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left( {\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} }$

線積分、面積分、体積積分

いくつかのスカラー場 f  : U据え<0x86> R ⁿ R ⁿ → Rに対して、区分的滑らかな 曲線に 沿った線積分C固執<0x8A><0x82><0x82> Uは次のように定義されます。

${\displaystyle \int \limits _{C}f\,ds=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))|\mathbf {r} '(t)|\, dt.}$

ここで、R：[B]→ Cは任意である全単射 パラメータ化曲線のCように、R（）とR（B）のエンドポイントを与えるCは、と${\displaystyle a$.

ためのベクトル場 F  ：U ⊆ R ^N → R ^nは、に沿った線積分区分的に滑らかな 曲線 C ⊂ Uの方向において、Rとして定義されます

${\displaystyle \int \limits _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} ( \mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt.}$

ここで、 · は内積であり、r : [a, b] → Cは、r ( a ) とr ( b ) がCの終点を与えるような曲線C の全単射 パラメータ化です。

表面積分の一般化である多重積分の積分に表面。これは、線積分の二重積分の類似物と考えることができます。表面積分に関する明示的な公式を見つけるには、球の緯度と経度のように、S上の曲線座標系を考慮して、関心のある表面Sをパラメータ化する必要があります。このようなパラメータ化をx ( s , t ) とします。ここで ( s , t ) は、平面内のある領域Tで変化します。すると、面積分は次のように与えられます。

${\displaystyle \iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left\|{\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}$

右側のバーの間の発現は、ある大きさの外積の偏導関数のX（S、T）、および表面として知られている要素。ベクトル場所与V上のSそれぞれに割り当てる関数であり、XにおけるSベクトルV（xは）、表面の積分はスカラー場の表面積分の定義に応じて成分ごとに定義することができます。結果はベクトルです。

体積積分を指す積分3-オーバー次元ドメイン。

それはまた意味することができる三重積分領域内のDにR ³の機能 ${\displaystyle f(x,y,z),}$ 通常は次のように記述されます。

${\displaystyle \iiint \limits _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.}$

線積分の基本定理

線積分の基本定理は、勾配場を通る線積分は、曲線の端点で元のスカラー場を評価することで評価できると言っています。

させる ${\displaystyle \varphi :U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$. それから

${\displaystyle \varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)=\int _{\gamma [\mathbf {p} ,\,\mathbf {q } ]}\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} .}$

ストークスの定理

ストークスの定理に関係する表面積分のカールのベクトル場にユークリッド三空間における表面Σ上Fを線積分の境界∂Σ上ベクトル場の：

${\displaystyle \iint _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot \ mathrm {d} \mathbf {r} .}$

発散定理

仮定Vはのサブセットであります${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$( n = 3 の場合、Vは 3D 空間のボリュームを表します) は、コンパクトで、区分的で 滑らかな境界 Sを持っています (線香V = S とも示されます)。場合Fは、の近傍に定義された連続微分ベクトル場であるV、その後発散定理は言う：^[11]

${\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right)\,dV=}$${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} )\,dS.}$

左側は体積V上の体積積分であり、右側は体積V の境界上の面積分です。閉鎖マニホールド∂ Vは、極めて一般の境界であるV外向きにより配向法線、及びnは境界の外向き単位法線分野で∂ V。( d Sはn dS の省略形として使用できます。)

ウィキペディアの 3D 地球儀のロゴ

3 次元空間には、他の次元番号の空間と区別する多くのトポロジー プロパティがあります。たとえば、ひもで結び目を作るには、少なくとも 3 つの寸法が必要です。^[12]

で微分幾何学汎用の三次元空間である3次元多様体ローカル似ています、${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$.

寸法に関する多くのアイデアは、有限幾何学でテストできます。最も単純なインスタンスはPG(3,2)であり、2 次元部分空間としてファノ平面を持っています。これは、有限体を使用した射影幾何学の研究であるガロア幾何学の例です。したがって、任意のガロア体 GF( q ) に対して、3 次元の射影空間PG(3, q ) が存在します。たとえば、PG(3, q )内の3 本のスキュー ラインは、1 つのレグルスに正確に含まれます。^[13]

• 次元解析
• 点から平面までの距離
• 四次元空間
• スキューライン § 距離
• 三次元グラフ
• 立体幾何学
• 二次元空間

• Anton、Howard (1994)、Elementary Linear Algebra (第 7 版)、John Wiley & Sons、ISBN 978-0-471-58742-2
• アルフケン、ジョージ B.、ハンス J. ウェーバー。物理学者のための数学的方法、Academic Press; 6 版 (2005 年 6 月 21 日)。 ISBN  978-0-12-059876-2。
• Brannan、David A.; エスプレン、マシュー F.; グレイ、ジェレミー J. (1999)、幾何学、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-59787-6

• ウィクショナリーでの三次元の辞書定義
• Weisstein、Eric W. 「四次元幾何学」。マスワールド。
• 初等線形代数 - 第 8 章: 三次元幾何学クイーンズランド大学のKeith Matthews 、1991 年